Əsas məzmuna keçin

FFT və Frequency Analysis

Giriş​

Fourier Transform - zaman domenindəki işarəni tezlik domeninə çevirən riyazi əməliyyatdır. Audio prosessinqdə ən fundamental alətlərdən biridir.

Time Domain vs Frequency Domain​

Time Domain:

  • X oxu: Zaman
  • Y oxu: Amplitude
  • Sual: Hər an səs nə qədər güclüdür?

Frequency Domain:

  • X oxu: Tezlik
  • Y oxu: Magnitude (gücü)
  • Sual: Hər tezlik nə qədər güclüdür?

Fourier Serisinin İdeası​

Hər hansı periodik işarə sadə sinusların cəmi kimi ifadə edilə bilər.

Nümunə:

signal(t) = A₁·sin(2πf₁t) + A₂·sin(2πf₂t) + A₃·sin(2πf₃t) + ...

Discrete Fourier Transform (DFT)​

DFT - diskret işarəni tezlik komponentlərinə ayırır.

DFT Tənliyi​

X[k] = Σ(n=0 to N-1) x[n] · e^(-j2πkn/N)

Harada:

  • x[n]: Time domain sample-lar
  • X[k]: Frequency domain komponentlər
  • N: Sample sayı
  • k: Tezlik bin indeksi

Frequency Bins​

DFT nəticəsi N frequency bin-ə bölünür.

Frequency Resolution = Sample Rate / N
Bin Frequency = k × (Sample Rate / N)

Nümunə:

  • Sample rate: 44,100 Hz
  • N = 1024 samples
  • Resolution: 44100/1024 ≈ 43 Hz
  • Bin 10: 10 × 43 ≈ 430 Hz

Qeyd: Real audio üçün yalnız N/2 bin istifadə olunur (Nyquist frequency-ə qədər).

Fast Fourier Transform (FFT)​

FFT - DFT-nin optimallaşdırılmış versiyasıdır, daha sürətli hesablama.

Komplekslik Müqayisəsi​

AlqoritmKomplekslik1024 sample üçün əməliyyat
DFTO(N²)~1,000,000
FFTO(N log N)~10,000

FFT Size Seçimi​

FFT size həmişə 2-nin qüvvəti olmalıdır: 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192...

Trade-off:

  • Kiçik FFT: Yaxşı time resolution, pis frequency resolution
  • Böyük FFT: Pis time resolution, yaxşı frequency resolution

Windowing​

FFT-ni diskret sample-lara tətbiq edərkən discontinuity yaranır. Windowing bunu həll edir.

Window Funksiyaları​

Populyar window-lar:

  1. Rectangular (No window):

    • Sadə, window yoxdur
    • Ən pis spectral leakage

  2. Hann (Hanning):

    • Ən çox istifadə olunan
    • Yaxşı leakage/resolution balanı

  3. Hamming:

    • Hann-a oxşar
    • Az fərqli side-lobe xüsusiyyətləri

  4. Blackman:

    • Ən az spectral leakage
    • Daha geniş main lobe

Short-Time Fourier Transform (STFT)​

STFT - audio işarəni kiçik bloklara bölüb hər birinə FFT tətbiq edir. Beləcə zaman və tezlik məlumatını eyni anda əldə edirik.

STFT Parametrləri​

1. Frame Size (FFT size):

  • Tezlik həllediciliyini müəyyən edir
  • 1024, 2048, 4096 tipikdir

2. Hop Size:

  • Frame-lər arası məsafə
  • Overlap = Frame Size - Hop Size
  • Tipik: 50% overlap (Hop = Frame/2)

Spectrogram​

Spectrogram - STFT-nin vizual təqdimatıdır, zamanla tezlik tərkibini göstərir.

Spectrogram növləri:

  1. Linear Spectrogram:

    • Tezlik xətti şəkildə
    • 0 Hz - Nyquist

  2. Mel Spectrogram:

    • İnsan eşitməsinə uyğun scale
    • Speech və music analysis

  3. Log Spectrogram:

    • Loqarifmik tezlik scale
    • Musikal oktavlar

Frequency Domain Əməliyyatları​

Frequency domain-də audio manipulyasiyası çox güclü texnikadır.

1. Filtering​

2. Phase Vocoder​

Phase Vocoder - pitch və time-ı müstəqil dəyişmək üçün istifadə olunur.

3. Spectral Subtraction (Noise Reduction)​

Magnitude və Phase​

FFT nəticəsi kompleks ədədlərdir: magnitude və phase.

Hesablama:

Magnitude = sqrt(Real² + Imag²)
Phase = atan2(Imag, Real)

Magnitude:

  • Hər tezliyin nə qədər güclü olduğunu göstərir
  • 0-dən yuxarı dəyərlər
  • dB-yə çevrilir: dB = 20 × log₁₀(Magnitude)

Phase:

  • Hər tezliyin dalğanın hansı hissəsində olduğunu göstərir
  • -π-dən +π-ə qədər
  • Bəzi hallarda lazımsızdır (məs: spectrogram)

Praktik Tətbiqlər​

1. Audio Equalizer​

2. Pitch Detection​

3. Music Transcription​

4. Audio Fingerprinting​

FFT Implementation (Pseudo-code)​

Sadə DFT​

def dft(x):
    N = len(x)
    X = []
    
    for k in range(N):
        sum_real = 0
        sum_imag = 0
        
        for n in range(N):
            angle = -2 * π * k * n / N
            sum_real += x[n] * cos(angle)
            sum_imag += x[n] * sin(angle)
        
        X.append(complex(sum_real, sum_imag))
    
    return X

STFT Implementation​

def stft(audio, frame_size=2048, hop_size=512, window='hann'):
    frames = []
    
    # Window function
    window = create_window(frame_size, window)
    
    # Split into frames
    for i in range(0, len(audio) - frame_size, hop_size):
        frame = audio[i:i+frame_size]
        windowed = frame * window
        spectrum = fft(windowed)
        frames.append(spectrum)
    
    return frames

Spectrogram Yaratmaq​

def create_spectrogram(audio, sample_rate=44100):
    # STFT
    frames = stft(audio, frame_size=2048, hop_size=512)
    
    # Magnitude
    spectrogram = []
    for frame in frames:
        magnitudes = [abs(x) for x in frame[:len(frame)//2]]
        spectrogram.append(magnitudes)
    
    return spectrogram

Performance Optimization​

Tövsiyələr:

  • FFT size həmişə 2-nin qüvvəti
  • Optimized library istifadə et (FFTW, numpy.fft)
  • Real-time processing üçün overlap-add method
  • Parallel processing (GPU acceleration)

Xülasə​

Fourier Transform:

  • Zaman domenini tezlik domeninə çevirir
  • Audio-nun tezlik komponentlərini göstərir
  • Analiz və manipulyasiya üçün fundamental alətdir

FFT:

  • DFT-nin sürətli versiyası: O(N log N)
  • Size 2-nin qüvvəti olmalıdır
  • Real-time audio processing üçün praktikdir

STFT və Spectrogram:

  • Zaman və tezlik məlumatını birləşdirir
  • Spectrogram vizual təqdimat verir
  • Music analysis, speech processing üçün vacibdir

Praktik:

  • EQ və filtering frequency domain-də asandır
  • Pitch detection və music transcription
  • Noise reduction və audio restoration
  • Phase vocoder: pitch/time manipulation